Foodie-gid.ru

Питание, красота и Здоровье
27 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Задача о диете в линейном программировании пример

2.3. Задача составления рациона (задача о диете).

Для откорма животного используется n видов кормов, содержащих m видов питательных веществ. Пусть— содержаниеi- го питательного вещества в одном килограмме j — го вида корма — стоимость одного килограммаj-ro вида корма Минимальная суточная потребность животного вi-ом питательном веществе равна . Необходимо составить наиболее дешевый рацион нужной питательности.

Обозначим через xj количество килограммов корма j-го вида.

Очевидно, математическая модель задачи такова.

f = → min

2.4. Общая постановка задачи линейного программирования

Линейным ограничением, наложенным на переменные , называется соотношение одного из следующих трех типов:

где — действительные числа.

Например, соотношения 2х — ≤ 1 или ≥ 0 являются

линейными, а соотношения ≥ 3 или sin x1не являются линейными.

Общая постановка задачи линейного программирования (ЗЛП) состоит в следующем.

Дана некоторая линейная функция

f =n (2.1)

и некоторая система линейных ограничений, наложенных на переменные :

(2.2)

Требуется найти такие значения переменных , которые

удовлетворяли бы ограничениям (2.2) и при этом условии обращали бы в оптимум (max и min) функцию (2.1).

Функция (2.1) называется целевой. Каждый набор значений переменных, при которых удовлетворяются ограничения (2.2), называется допустимым решением или допустимым планом ЗЛП. Совокупность всех допустимых решений называется областью допустимых решений (ОДР).

Приведенные в параграфах 2.1, 2.2, 2.3 задачи являются, очевидно, задачами линейного программирования.

Допустимое решение, обращающее целевую функцию в оптимум, называется оптимальным решением или оптимальным планом.

Говорят, что ЗЛП разрешима,если она имеет оптимальный план. В противном случае задача называетсянеразрешимой.

ЗЛП может быть неразрешимой только по следующим двум причинам:

б) ОДР непуста, но целевая функция не ограничена на ОДР сверху, если в ЗЛП ищется ее максимум, или — не ограничена снизу, если в ЗЛП ищется минимум целевой функции.

Например, задача: f = min

неразрешима из-за пустоты ОДР.

Задача же f = max при ограничениях

неразрешима из-за того, что целевая функция не ограничена сверху на ОДР. (Чтобы убедиться в этом, рассмотрите такие допустимые решения : и т.д.).

2.5. Геометрический метод решения злп.

В случае, когда число переменных в ЗЛП равно двум, задачу можно решить геометрически. Рассмотрим примеры.

Пример 1

f = max

Каждое допустимое решение ЗЛП будем изображать точкой координатной плоскости. Построим ОДР (рис. 2.1). Рассмотрим первое линейное ограничение. Совокупность точек плоскости, удовлетворяющих этому ограничению, представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой. Сначала построим эту граничную прямую (ее можно построить по двум точкам: (0,6) и (9,0). Эта прямая разобьет плоскость на две полуплоскости. Чтобы решить вопрос о том, какую из этих двух полуплоскостей определяет неравенство, возьмем в одной из полуплоскостей какую-либо точку, не лежащую на граничной прямой, и подставим ее координаты в неравенство. Например, в качестве такой точки возьмем начало координат — точку (0,0). Поскольку, то полуплоскость, определяемая неравенством, содержит точку (0,0). Аналогично находим полуплоскости, определяемые остальными ограничениями. Далее определим ОДР как общую часть полученных полуплоскостей. Получим выпуклый многоугольник

Теперь осталось определить максимум целевой функции на ОДР. Для этого построим линии уровня целевой функции. Линия уровня — это множество точек плоскости, в которых целевая функция принимает постоянное значение. Поскольку целевая функция

f =,то каждая линия уровня имеет вид. Видим, что при различных значениях параметра С получаются параллельные прямые. Построим, например, две линии уровня, положив С = 4 и С = 8. Отметим стрелкой направление, в котором перемещается линия уровня при увеличении С. Передвигая линию уровня в указанном направлении, найдем точку ОДР, в которой С имеет наибольшее значение. Это будет точка А. Она является результатом пересечения двух прямых:и

Для нахождения координат точки А решим систему

Получим оптимальное решение

Пример 2. f =min

В этом примере полуплоскости, определяемые линейными ограничениями, не имеют общих точек. Поэтому ЗЛП неразрешима из-за пустоты ОДР.

Пример 3. f =

В данном примере (рис.2.3) ОДР — выпуклая неограниченная многоугольная область.

Построим линию уровня . Передвигая линию уровня в направлении, указанном стрелкой, видим, что на ОДР целевая функция может принимать сколь угодно большие значения. Поэтому ЗЛП неразрешима из-за неограниченности сверху на ОДР целевой функции.

Пример 4. f =

Этот пример отличается от предыдущего только тем, что целевую функцию нужно минимизировать, а не максимизировать. Линию уровня нужно перемещать в направлении, противоположном тому, которое указано на рисунке 2.3 стрелкой. Так как линия уровня параллельна прямой , то минимальное значение на ОДР целевая функция достигает во всех точках отрезка АВ. Чтобы указать конкретное оптимальное решение задачи, нужно выписать координаты какой-либо точки этого отрезка.

Пример 5. Решим геометрически задачу об использовании

оборудования, которая рассматривалась в параграфе 2.1. Ее математическая модель

Читать еще:  При диете неприятный запах изо рта

f =

Построим ОДР (рис 2.4). Затем проведем линию уровня . Укажем стрелкой направление, в котором перемещается линия уровняс ростомC. Максимум целевой функции на ОДР достигается в точке А. Для отыскания координат точки А решим систему:

Отсюда

Ответ. Оптимальный план таков: изделий А нужно производить 7,5 единиц, изделий В -5 единиц; при этом прибыль будет равна 80 денежным единицам.

Геометрический метод можно использовать для решения ЗЛП с числом переменных n = 3. При большем числе переменных ЗЛП не допускает наглядного геометрического решения. Вместе с тем для произвольного числа переменных справедливы утверждения:

1) область допустимых решений представляет собой выпуклый многогранник;

2) если ЗЛП разрешима, то оптимальное решение достигается в одной из вершин выпуклого многогранника.

Тема 8. Линейное программирование

Примеры экономико-математических моделей, приводящих к задачам линейного программирования

Рассмотрим математические модели некоторых важных экономических задач.

Задача о банке.

Пусть собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн долл. Часть этих средств, но не менее 35 млн долл., должна быть размещена в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, т.к. в случае непредвиденной потребности в наличности обратить кредиты в деньги без существенных потерь невозможно.

Другое дело ценные бумаги (особенно государственные). Их можно в любой момент продать, получив некоторую прибыль, или, во всяком случае, без большого убытка. Поэтому существует правило, согласно которому коммерческие банки должны покупать в определённой пропорции ликвидные активы – ценные бумаги, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. В нашем примере ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещённых в кредитах и ценных бумагах.

Пусть х – средства (млн долл.), размещённые в кредитах, у – средства, вложенные в ценные бумаги. Имеем следующую систему ограничений:

– балансовое ограничение;

– кредитное ограничение;

– ликвидное ограничение;

Цель банка состоит в том, чтобы получить максимальную прибыль от кредитов и ценных бумаг:

при условии 1)-4),

где – доходность кредитов, – доходность ценных бумаг.

Т.к. кредиты менее ликвидны, чем ценные бумаги, то обычно . Мы пришли к задаче линейного программирования с ограничениями 1)-4) и целевой функцией , которую требуется максимизировать.

Задача об использовании ресурсов (задача планирования производства)

Для производства 2-х видов продукции Р1 и Р2 используют 4 вида ресурсов r1, r2, r3 и r4. Запасы ресурсов и их расход для изготовления единицы продукции каждого вида приведены в таблице:

Вид ресурсаКоличество ед. ресурса для изготовления ед. продукцииЗапас ресурса
Р1Р2
r1
r2
r3
r4

Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции Р1 и Р2, равна соответственно 2 и 3 ден. ед.

Требуется составить математическую модель задачи с целью найти такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет наибольшей.

Решение.

Для построения математической модели:

1. Введем управляющие переменные.

Обозначим x1 – количество единиц продукции Р1,

x2 – количество единиц продукции Р2.

По смыслу задачи переменные неотрицательны: x1 ≥0, x2 ≥0,

2. Построим функцию цели.

Прибыль от реализации продукции Р1 составит 2x1 ден. ед., прибыль от реализации продукции Р2 составит 3x2 ден. ед.

Функция цели — суммарная прибыль — должна быть максимальной и описывается выражением: F=2x1 +3x2max

3. Построим систему функциональных ограничений.

Расход каждого ресурса для изготовления продукции Р1 и Р2 в количестве x1 и x2 соответственно описывается выражением:

Потребление ресурсов не должно превышать их запасов, поэтому связь между потреблением и запасами ресурсов выразится системой неравенств:

Таким образом, математическая модель задачи построена:

Найти такой план выпуска продукции ,

при котором прибыль максимальна

и выполнены ограничения

Задача о составлении рациона(о диете, о смесях)

Имеется два вида корма К1 и К2. Данные о содержании витаминов в 1кг каждого вида корма, необходимый минимум этих витаминов и стоимость 1кг каждого вида корма приведены в таблице:

ВитаминыКоличество витаминов (ед.)в 1кг кормаНеобходимый минимум
К1К2
А
В
С
Стоимость 1кг корма

Требуется составить экономико-математическую модель задачи с целью найти дневной рацион, имеющий минимальную стоимость и содержащий не менее установленного предела каждого вида питательных веществ.

Решение.

1. Введем управляющие переменные:

Обозначим — количество кормов К1 и К2, входящих в дневной рацион.

По смыслу переменные неотрицательны:

2. Функция цели — общая стоимость дневного рациона питания – описывается выражением и должна быть минимальной:

3. Построим систему ограничений.

Рацион будет включать следующие количества витаминов:

единиц витамина А,

единиц витамина В,

единиц витамина С.

Учитывая установленные пределы содержания питательных веществ, получим систему неравенств:

Таким образом, математическая модель задачи получена:

Составить дневной рацион ,стоимость которого минимальна

и выполнены заданные ограничения

Задача о диете в линейном программировании пример решения

Задача является задачей целочисленного линейного программирования. Задача возникает во многих областях промышленности. Представим себе, что вы работаете на целлюлозно-бумажном предприятии, и у вас имеется некоторое количество рулонов бумаги фиксированной ширины, но различным заказчикам нужны различные количества рулонов различной ширины. Как разрезать бумагу, чтобы минимизировать отходы? Выпишем задачу линейного программирования:. Точная природа ограничений может вести к слегка различным математическим характеристикам.

Читать еще:  Диета при вздутии кишечника у взрослого человека

Поиск данных по Вашему запросу:

Перейти к результатам поиска >>>

ПОСМОТРИТЕ ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Лекция 4 Анализ чувствительности решения задачи линейного программирования

Линейное программирование на страже здоровья человека

Нахождение интерполяционного многочлена и построение его графика. Выполнил: ст. Чебоксары — Содержание Введение 1. Постановка задачи интерполяции 1. СИБ Исмагилов И.

Постановка задачи ……………………………………………… Линейная и квадратичная интерполяция ………………………………………. Интерполяционная формула Лагранжа……………………………………… Интерполяционная формула Ньютона……………………………………… Точность интерполяции …………………………………………………………. Интерполяционной многочлен Эрмита…………………………………………15 7.

Функция двух переменных………………………………………………………16 8. Остаточный член интерполяции ……………………………………………… Определение [pic] Этот пример показывает интерполяционный многочлен Лагранжа для четырёх точек -9,5 , -4,2 , -1,-2 и 7,9 , а также полиномы yj lj x , каждый из которых ТК Сабурова С. Садылко Е. Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требование строгого совпадения значений и в точках , т. В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией или интерполированием , точки — узлами интерполяции.

Аппроксимация функции методом наименьших квадратов. Задача аппроксимации Производные и конечные разности. Вычисление производных с помощью программ интерполяции и аппроксимации.

Погрешность методов. Проверил: д. Выбор и обоснование автоматизированных средств измерений линейного размера……………………………………………………………………………14 2. Понятие линейного программирования………………………………………6 2. Классификация экономических задач, решаемых методами линейного программирования………………………………… Введение 2 1. Теоретическая часть 3 1. Постановка задачи интерполяции , её общие идеи и решения. Определение сплайна 5 1. Интерполяция линейным сплайном 7 1. Интерполяция квадратичным сплайном…………………………………………………………………..

Практическая часть 13 1. Содержание Введение 5 1 Аппроксимация и интерполяция 6 1. Коротко об интерполяции Что такое интерполяция Нередко результатами каких-либо экспериментов, измерений является набор точек данных, то есть значений вида x0, y0 , Это можно сделать, построив функцию, проходящую через эти точки.

Такая функция будет называться интерполирующей функцией, а сам вид приближённых вычислений — интерполяцией. Точки xi — узлы интерполяции , а весь их набор — интерполяционная Краткие теоретические сведения Наиболее удобной в обращении на практике функцией является алгебраический многочлен.

Чтобы задать многочлен, нужно задать только конечное число его коэффициентов. Значения многочлена легко вычисляются, его легко продифференцировать, проинтегрировать и т. Поэтому алгебраические многочлены нашли широкое применение для приближения аппроксимации функций.

Наряду с алгебраическими Ростов-на-Дону год Содержение Введение 3 1 Полиномиальная регрессия 3 2 Интерполяция периодических функций рядом Фурье 6 3 Интерполяция на неравномерной сетке 8 4 Одномерная табличная интерполяция 10 5 Двумерная табличная интерполяция 12 6 Трехмерная табличная интерполяция 14 7 N-мерная табличная интерполяция 15 8 Интерполяция кубическим сплайном 16 Введение Под аппроксимацией обычно подразумевается описание некоторой, порой не заданной Рецензент: зав.

Лаптев В. Мрмс Плаксин А. Принял: к. Владимир г. Содержание Введение 1. Основные понятия и определения 1. Структура программы 3. Правила программирования для устройств четвертого поколения 4. Правила программирования для устройств пятого поколения Заключение Литература Введение В настоящее время станок с числовым Результаты приведены в таблице 1. Таблица 2 — Результаты аппроксимации функции линейной интерполяцией Для решения этой задачи на рабочем листе Excel Эти функции выполняют широкий спектр вычислительных заданий, включая статистический анализ, интерполяцию и регрессионный анализ.

Эта глава состоит из следующих разделов: Статистики совокупностей Функции, вычисляющие среднее значение, дисперсию и корреляцию выборочных данных. Распределения вероятностей Функции плотности вероятности, функции распределения Задания к курсовой работе Вариант Тема Задание 1 Решение систем линейных уравнений. Все методы решения этой задачи основаны на дискретизации и интерполяции , как и численное дифференцирование, которое они используют.

При дискретизации на отрезке вводится сетка с узлами ,. В простых задачах эта сетка равномерная и шаг дискретизации равен. При вычислениях выполняется цикл по шагам, то есть цикл по , и на каждом шаге по известному значению вычисляется следующее значение с применением интерполяции.

Для интерполяции функции на одном или нескольких шагах используются полиномы Решение нелинейных уравнений методом интерполирования 3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений 4. Блестящий пример линейной экстраполяции вперед по двум узловым точкам — прошлому и настоящему. Нелинейная экстраполяция неприменима из-за множества возможных решений.

Потребуются ограничения: что производит фабрика, есть ли на ней профсоюз, чем кормят собаку. Станислав Игумнов, Уральский геофизик. Содержание: Введение. Приближение сигналов рядами Тейлора. Интерполяция и экстраполяция сигналов. Сплайновая интерполяция. Приближение функции. N8ZМ13 Перемещение по координате «Z» и вспомогательная команда- включение шпинделя. N9G1G41X Линейная интерполяция , коррекция эквидистанты инструмент слева , перемещение по координате «Х».

Читать еще:  Диета для роста груди

N10Y50 Перемещение по координате «Y». N11X Перемещение по координате «Х». N12Y Перемещение по координате За многие годы накоплены обширные библиотеки научных подпрограмм, в первую очередь, на языке FORTRAN, предназначенных для решения типовых задач задачи линейной алгебры, интегрирование, решение дифференциальных уравнений и т.

Кроме того, имеется целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы, а так же способных производить аналитические математические преобразования Метод наименьших квадратов в аппроксимации данных Метод наименьших квадратов — математический метод, применяемый для решения различных задач Омск Реферат УДК Численный метод, нелинейное уравнение, корень, итерация, сходимость, аппроксимация, интерполяция , задача Коши Проверил: доцент Подберезина Е.

Томск Содержание 1. Интерполяция 2. Методы интерполирования 3. Краткая биография Исаака Ньютона 4. Многочлен ньютона 5. Примеры тематических задач 6. Литература Интерполяция Под интерполяцией понимают построение приближенного или точного аналитического выражения Параметрический 8. Что относится к методам внедрения? Функционально-стоимостной анализ Б.

Выпуклое Программирование Сочинения и курсовые работы

Рассмотрена и рекомендована к утверждению на заседании кафедры математического и информационного обеспечения экономических систем. Особенностью современной жизни является проникновение во все сферы человеческой деятельности достижений научно-технического и информационного прогресса, который в свою очередь опирается на широкое использование математических знаний. Математические дисциплины играют существенную роль в образовании специалистов не только технического, но и экономического профиля. Предмет математического программирования МП. Основные понятия: целевая функция ЦФ , ограничения и их экономическое содержание. Постановка общей задачи МП.

Теория принятия решений

Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте другую форму. Study lib. Загрузить документ Создать карточки. Документы Последнее. Карточки Последнее. Сохраненные карточки. Добавить в Добавить в коллекции Добавить в сохраненное.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Раздел 1. Математические модели и оптимизация в экономике. Общее представление о статической задаче оптимизации. Математические модели в экономике.

Линейная Интерполяция Сочинения и курсовые работы

Нахождение интерполяционного многочлена и построение его графика. Выполнил: ст. Чебоксары — Содержание Введение 1. Постановка задачи интерполяции 1. СИБ Исмагилов И.

Основы математического программирования (стр. 1 )

Волгоград г. Введём необходимые понятия. Производная по направлению и градиент. Выпуклые функции. Производной [pic] функции [pic]по направлению l в точке X называется предел [pic] Направление l обычно задаётся вектором [pic] Если функция F дифференцируема в точке X, то она имеет в этой точке производную по ЛП—область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума максимума или минимума линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, то есть равенств или неравенств, связывающих эти переменные. Центральным результатом теории линейного программирования является теория двойственности. Под двойственной задачей понимается вспомогательная задача линейного программирования , формулируемая с помощью

Компьютерное математическое моделирование в экономике

Методы линейного программирования позволяют наиболее рациональным образом распределить ограниченные ресурсы, рассчитать максимальную выгоду или минимальные затраты Ее интересуют задачи прикладного характера. В настоящем докладе она исследует вопрос определения диеты человека, то есть определения такого набора продуктов, который, с одной стороны, обеспечивал бы жизненные потребности человека в белках, жирах, углеводах, микроэлементах, витаминах, а с другой — имел бы минимальную стоимость. В процессе работы над докладом Ксения исследовала цены на продукты в различных магазинах поселков Аэропорт и Сокол, дала им сравнительную характеристику.

Предисловие

ВИДЕО ПО ТЕМЕ: Графический метод решения задач оптимизации

Правило Берке Ставьте задачи, по которым решения есть только у вас. Следствие из правила Берке П 8 Просветов Г. Учебно-практическое пособие. ISBN В учебно-практическом пособии рассмотрены основные методы оптимизации. Книга содержит как теоретический материал, так и практические примеры и задачи, позволяющие успешно овладеть знаниями по изучаемой дисциплине. Пособие содержит программу курса, задачи для самостоятельного решения с ответами и задачи для контрольной работы.

ОПТИМИЗАЦИИ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Задача 21 и любая эквивалентная ей задача линейного программирования называется двойственной задаче 20 и любой эквивалентной ей задаче. Подчеркнем, что новых переменных вводится ровно столько, сколько в задаче 20 ограничений, то есть m. Поскольку любая задача линейного программирования может быть записана в стандартной форме, данное определение позволяет построить двойственную задачу для любой задачи линейного программирования. Исходную задачу, по отношению к которой строится двойственная, иногда еще называют прямой задачей. Теорема о сопряженных задачах.

Практические занятия. Разделы дисциплин и виды занятий

Оно тесно связано с оптимальным ценообразованием. На начальном этапе развития экономико-математических методов в бывш. СССР основное внимание было обращено именно на проблемы О. Впоследствии исследования охватили также проблему оптимизации экономического механизма в целом.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector